Un concours d'art urbain

Lors d'un concours d'art urbain, une épreuve consiste à peindre un mur mis à disposition de la ville. Les concourants doivent décorer deux parties de ce mur : une partie carrée et une partie triangulaire, schématisées dans cet extrait du règlement.

\(\)De plus, les artistes sont soumis à la contrainte suivante : « Afin que l’œuvre soit éligible au concours, il faut que l'aire décorée soit minimale. »

Partie A : conjecture

En utilisant le fichier de géométrie dynamique suivant, déplacer le point \(\text{E}\) afin d'identifier les positions qui permettent d'avoir une décoration qui respecte la contrainte.

Partie B : modélisation et démonstration

On note \(x\) la distance \(\text{A}\text{E}\) exprimée en cm. On cherche toutes les positions de \(\text{E}\) pour lesquelles l'aire du motif bleu est minimale.
1. Montrer que l'aire du motif bleu se modélise par la fonction \(f\) définie sur \([0~;5]\) par \(f(x)=x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{2}\).
2. Calculer l'expression de la dérivée \(f^{\prime}\).
3. Étudier le sens de variation de \(f\) sur \([0~;5]\).
4. En déduire la solution du problème.